[디지털공학] Canonical form 그리고 truth table

이 글은 디지털 공학 전공과목을 공부하며 작성한 글이다.

 

Canonical form

1, Sum of minterms(=canonical SOP)

2. product of maxterms(=canonical POS)

 

정규형 (Canonical form)

 

어떠한 논리식은 각 논리 변수(또는 그 부정)들의 곱의 합 또는 합의 곱만으로 표현할 수 있ek. 이렇게 표현한 식을 정규형이라고 한다.

​이렇게 정규형을 만드는 이유는 여러 가지가 있지만 대부분 게이트의 효율과 관련이 있다. 

 

 

Sum of minterms(=canonical SOP)

 

흐름

 

1. SOP에서 canonical SOP 만들기

 

 예를 들어보겠다. 3개의 변수를 가진 불 함수를 canonical form으로 만들어보자

 

F=A+BC'

canonical SOP를 만들 때는x+x'=1 을 이용하여 식을 전개하고x+x=x를 이용해서 중복을 지워주면 된다.

 

2. Canonical SOP의 표기법

 

Canonical SOP는 minterm의 합이다. 밑의 표를 참고해서 표기법을 알아보자

예시를 보면 바로 이해가 될 것이다. 위의 함수로 예시를 들겠다.

출처:  slideplayer.com

 

minterm의 합

 

위의 표와 비교해서 보면 충분히 이해할 수 있다. 소문자 m을 쓰는 것과 아래첨자, 시그마 표시에 유의하자.

 

3. Truth table과의 관계

 

불 함수가 어떤 역할을 수행하는지 불 함수의 논리변수에 0과 1을 넣어 불 연산을 하여 truth table을 작성하면 다음과 같다.

위의 식과 연관이 있지 않은가?

불 함수를 Canonical form으로 바꾸면 진리표에서 그 관계가 명확히 드러난다. 

정리하면 

 

각 변수의 조합에 대한 minterm을 구성하였을 때, 불 함수의 값이 1로 나타나는 minterm의 합이다.

 

4. truth table과의 관계가 중요한 이유

 우리는 불 함수또는 논리회로를 분석하기 위함이 목표가 아니다. 상황에 맞게 불 함수를 만들고 그것을 토대로 논리회로를 설계하는 것이 궁극적인 목표이다. 우리가 원하는 결과는 Truth table로 작성할 수 있다. 위에서 보여준 일련의 과정을 거꾸로 시행하면 Truth table에서 Canonical SOP를 얻을 수 있고 간략화 과정을 통해(여기서는 대수적인 조작)을 통해 SOP를 얻을 수 있고 논리 회로를 설계할 수 있다. 

 

 

Product of maxterms(=canonical POS)

 

흐름

 

 

1. POS에서 canonical POS 만들기

 

 예를 들어보겠다. 3개의 변수를 가진 불 함수를 canonical form으로 만들어보자

 

F=(x+y)(y'+z)

canonical POS를 만들 때는 xx'=0 을 이용하여 식을 전개하면 된다. 중복이 있다면 xx=x 식을 이용하여 중복을 제거해 준다.

 

2. Canonical POS의 표기법

 

Canonical POS는 maxterm의 곱이다. 밑의 표를 참고해서 표기법을 알아보자

예시를 보면 바로 이해가 될 것이다. 위의 함수로 예시를 들겠다.

출처:  slideplayer.com

 

maxterm의 곱

위의 표와 비교해서 보면 충분히 이해할 수 있다. 대문자 M을 쓰는 것과 아래첨자, 파이 표시에 유의하자.

 

3. Truth table과의 관계

 

이번에도 똑같이 불 함수가 어떤 역할을 수행하는지 불 함수의 논리변수에 0과 1을 넣어 불 연산을 하여 truth table을 작성하면

이번에도 역시 불 연산으로 얻어진 Truth table과 불 대수 조작으로 이뤄진 Canonical POS의 식을 비교해보면

다음과 같은 관계를 가진다. 말로 정리하자면

 

각 변수의 조합에 대한 maxterm을 구성하였을 때, 불 함수의 값이 0로 나타나는 maxtem의 곱이다.

 

4. truth table과의 관계가 중요한 이유

 

 이번에도 역시 Truth table에서 Canonical POS를 얻을 수 있고 간략화 과정을 통해(여기서는 대수적인 조작)을 통해 POS를 얻을 수 있고 논리 회로를 설계할 수 있다.