[디지털공학] 부울대수(불대수)란? | Boolean algebra | 쌍대 , 공리, 공준 | 부울 대수의 주요법칙

이 글은 전공 과목인 디지털 공학 수업을 복습하며 작성하는 글이다.

 

 

부울대수 (Boolean Algebra) 

 

 

대수학 (Algebra)이란 일련의 공리들을 만족하는 수학적 구조들의 일반적인 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다.

그 중, 부울대수 (Boolean Algebra)는 참(True), 거짓(False)라는 논리로만 이루어진 대수학이라 할 수 있다. 

 

다들 이미 알다시피 컴퓨터는 0,1 이라는 두개의 숫자만으로 모든 것을 표현한다. True, False라는 논리를 0과 1이라는 두 숫자로 나타낼 수 있기 때문에 부울대수가 컴퓨팅의 기반이 되는 것이다.

 

 

논리연산자 - NOT, AND, OR

 

부울대수를 연산하는 연산자에는 3가지 - NOT, AND, OR - 가 있다. 하나 하나 살펴보도록 하자.

 

 

NOT(논리부정)

영어 not의 뜻을 생각하면 연산자 NOT을 쉽게 이해할 수 있다. 알다시피 영어에서 not은 ~가 아니다의 뜻을 가진다.

표현방법 :

 

이것을 게이트(gate)로 표현하면 아래와 같다.

(*게이트란 부울대수 연산을 시각적으로 보기 쉽게 만든 것이다. ex. 변수 A를 게이트에 넣으면 결과값 Q가 나온다.)

A를 NOT 게이트에 넣었을 때 나오는 결과값 Q는 A'가 될 것이다.

 

AND(논리곱)

영어 and는 그리고 라는 뜻이다. 그러므로 A AND B는 A 그리고 B라는 뜻이 될 것이다. 만약 A AND B의 결과가 True가 되려면 A, B 둘다 True가 되야 할 것이다. 둘 중 하나라도 False라면 True라는 결과가 나올 수 없을 것이다.

표현방법 : Q = A⋅ B ( ⋅ 는 생략가능)

INPUT		OUTPUT
A	B	Q
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

게이트로는 아래와 같이 표현된다.

 

 

OR(논리합)

영어 or의 뜻은 또는 이다. 그러므로 A OR B는 A 또는 B라는 뜻이 될 것이다. 만약 A OR B의 결과가 True가 되려면 A, B 둘 중 하나만 True가 되어도 True가 될 것이다.

표현방법 : Q = A+ B

INPUT		OUTPUT
A	B	Q
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

게이트로는 아래와 같이 표현된다.

 

 

부울대수의 주요 법칙

 

1. 기본 공리

A⋅A=A, A+A=A, A⋅0=0, A+0=A, A⋅1=A, A+1=1

 

2. 부정법칙

A⋅A'=0, A+A'=1, A''=A

 

3. 교환법칙

A⋅B=B⋅A, A+B=B+A

 

4. 결합법칙

A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅C, A+(B+C)=(A+B)+C

 

5. 분배법칙

A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C, A+(B⋅C)=A+B⋅A+C

 

6. 흡수법칙

A⋅(A+B)=A, A+(A⋅B)=A

 

- 게이트를 이용하여 직접 계산해보면 왜 이러한 법칙이 성립하는지 이해할 수 있게 된다.

 

예를 하나 들어보겠다.

A+A'=1

#case1

#case2

 

다른 법칙도 이런 식으로 직접 연산해보면 왜 그러한 법칙이 성립되는지 이해할 수 있을 것이다.

 

부울 대수의 공리

공리는 증명을 필요로 하지 않는 전제같은 것이다. 그냥 외우면 된다.

 

<부울 대수의 공리>

0+0=0 , 0+1=1+0=1 , 1+1=1

0·0=0 , 0·1=1·0=0 , 1·1=1

A=0 이면 A'=1 이고 A=1 이면 A'=0 이다.

 

부울 대수의 공준과 정리

밑의 표에서 x,y,z등의 문자는 대수적인 변수가 아닌 논리 변수이다. 0과 1이 들어간다. 

이 표 역시 외워야한다.

 

출처: slideplayer.com

 

 

postulate가 공준이고 그 밑으로 6가지 정리가 있다. 빨간 네모안의 내용들 중 드모르간 법칙은 너무 중요하고 나머지 것들은 생소해서 잘 봐두어야하한다. 물론 다 외워야한다. 

집합에서 x,y,z,를 주머니라고하고 +를 합집합, ·를 교집합, '를 여집합으로 생각하면 받아들이기 쉬울 것이다.

 

위의 표에서 (a)와 (b)는 쌍대의 관계를 가지는데 쌍대는 다음과같다.

 

 

쌍대

 

쌍대원리(duality principle ) : 2진 연산자와 단위원이 상호 교환되면 한쪽 부분을 다른 쪽 부분으로부터 얻을 수 있다.

쉽게 말해서 OR연산자(+)와 AND(·)연산자를 서로 바꾸어주고 0을 1로, 1을 0으로 바꾸어주면 된다.

식을 전개할 때나 증명등에 필요하다.

 

연산자 우선순위

연산자 우선순위가 있다. 불 연산은 다음과 같은 순서로 이뤄진다.

1. 괄호(())

2. NOT(')

3. AND(·)

4. OR(+)

 

 

Boolean Function

1. 불 함수(Boolean Function)란?

불 대수는 2진 변수와 논리 연산을 다루는 대수이다. 이런 대수식으로 표현되는 것이 불 함수이다.

내가 배운 것을 토대로 보충하자면 함수가 어떤 변수들의 연산으로 원하는 결과를 이끌어 내듯 불 함수도 0과 1이란 input에서 원하는 결과를 이끌어 내는 논리 변수와 논리 연산의 조합이다.

예시를 들어보겠다.

 

F1= x+y'z

 

위의 식이 불 함수이다. 논리 연산인 AND(·)와 OR(+), NOT('), 논리 변수인 x,y,z로 이루어져있다.

 

출처: slideplayer.com

 

Truth Table(진리표)란 각 변수와 함수의 결과를 표로 정리해놓은 것을 말한다.

출처: slideplayer.com

 

 

출처: slideplayer.com

 

다른 논리연산이다. 빨간 네모박스에 있는 것은 알아두는 것이 좋다.

 

Digital design과목의 목표는 말그대로 논리회로를 설계하는 것이다. input에서 원하는 output을 출력해주는 회로를 설계하는 것이 목표이다. 그런 의미에서 불 함수는 매우 중요하다.